「数列黄金分割」黄金矩形尺规作图(尺规作图 矩形)

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斐波那契数列，

兔子繁殖，第1月有1对兔子，第2个月有1对兔子，第3个月有2对兔子，第4个月有3对兔子，第5个月有5对兔子，第6个月有8对兔子，后面每一个月的兔子对数是前面2个月的兔子对数的和。请问，按这样繁殖下去，24个月后有多少对兔子？

这就是斐波那契数列，1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……,从第3项开始，每一项都是前两项的和。在生活中，在自然界中，存在很多斐波那契数列，好比我们可以有一个简单的愿望，第1天有1元存款，第2天有1元存款，第3天有2元存款，第4天有3元存款，……，第10天有55元存款，以后的每一天的存款是前2天存款的和，那么365天下来，有多少存款？

下面分步来了解斐波那契数列。

一，先做一道习题。

习题证明，解法参考：

二，黄金分割数。

我们常说一个人的身材比例很完美，大概符合，上身（腰以上）与下身的高度比，等于下身与全身的高度比。这个高度比是多少？

黄金比例的运用，尺规作图作正五角星，求sin18°

把问题一般化，如图，在线段AB上找一个点C，把AB分成AC和BC两段，其中BC为较小的一段，现要使BC∶AC=AC∶AB。

为简单起见，设AB=1，AC=x，则BC=1-x。

代入BC∶AC=AC∶AB，即(1-x)∶x=x∶1，也即x+x-1=0。解方程，得x=(-1±√5)/2。

根据问题的实际意义，这比值是正数，取x=(-1+√5)/2≈0.618,这个值就是上面问题中所求的高度比，即黄金分割数。

如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短的一段与较长的一段的比也是黄金分割数。

三，

斐波那契数列又称为黄金分割数列，当n趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数(-1+√5)/2。

现验证下。

四，

宽与长的比是(-1+√5)/2的矩形叫做黄金矩形。黄金矩形给我们以协调、匀称的美感。比如，我们装修房子用到矩形设计时，为取得最佳的视觉效果，应该把矩形设计为黄金矩形。

斐波那契数列，当n趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数(-1+√5)/2。当n的值很大的时候，以斐波那契数列相邻的两项作为长方形的宽与长，所得矩形为黄金矩形。这算不算是，美的事物总是关联着的？